Продифференцируйте по x функцию y = e в степени 2x, умноженное на artanh от корня из (e в степени x минус 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Определим область определения до дифференцирования. Под корнем нужно $e^{x}-1\ge 0$, то есть $x\ge 0$, а для $\operatorname{artanh}(z)$ требуется $|z|<1$, то есть $e^{x}-1<1$, то есть $x<\ln 2$. Значит, функция существует только при

   $0\le x<\ln 2\approx 0.693$

   Знание этого объясняет появляющийся дальше множитель $2-e^{x}$ и то, почему он не меняет знак.

2. 2

   Применим правило произведения. При $u=e^{2x}$ и $v=\operatorname{artanh}\left(\sqrt{e^{x}-1}\right)$

   $y'=u' v+uv',\qquad u'=2e^{2x}$

   Сложная половина — это $v'$, двухслойная композиция.

3. 3

   Продифференцируем внутренний корень. При $z=\left(e^{x}-1\right)^{1/2}$ цепное правило даёт

   $z'=\frac12\left(e^{x}-1\right)^{-1/2}\cdot e^{x}=\frac{e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}}$

4. 4

   Применим производную artanh и упростим $1-z^{2}$. Поскольку $\dfrac{d}{dz}\operatorname{artanh}z=\dfrac{1}{1-z^{2}}$, а здесь ровно $z^{2}=e^{x}-1$,

   $1-z^{2}=1-\left(e^{x}-1\right)=2-e^{x}$

   Корень из этого множителя исчезает полностью — настоящее упрощение, благодаря которому ответ остаётся читаемым. Заметьте, что $2-e^{x}>0$ в точности на области определения из шага 1.

5. 5

   Соберём $v'$, а затем и $y'$.

   $v'=\frac{e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}\left(2-e^{x}\right)}$

   $y'=2e^{2x}\operatorname{artanh}\left(\sqrt{e^{x}-1}\right)+\frac{e^{2x}\cdot e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}\left(2-e^{x}\right)}=2e^{2x}\operatorname{artanh}\left(\sqrt{e^{x}-1}\right)+\frac{e^{3x}}{2\sqrt{e^{x}-1}\left(2-e^{x}\right)}$

6. 6

   Проверим численно внутри области определения. При $x=0.5$ центральная разность исходной функции даёт $13.9758241$, и формула даёт $13.9758241$ ✓; при $x=0.6$ обе величины равны $28.7724865$ ✓. На обоих концах области производная обращается в бесконечность — как и предсказывают множители $\sqrt{e^{x}-1}\to 0$ и $2-e^{x}\to 0$.