Вычислить тройной интеграл от x + 2y + 3z по тетраэдру, ограниченному плоскостью x + y + z = 1 в первом октанте.

Step-by-step solution

1. 1

   Описываем область. Плоскость $x+y+z=1$ вместе с условиями $x,y,z\ge0$ ограничивает единичный тетраэдр с вершинами в начале координат и в точках $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$. Разрезая его слоями, получаем повторные пределы

   $0\le z\le1,\qquad0\le y\le1-z,\qquad0\le x\le1-y-z$

   так что интеграл равен $\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1-z}\!\!\int_{0}^{1-y-z}(x+2y+3z)\,dx\,dy\,dz$.

2. 2

   Разбиваем по линейности, а не интегрируем сумму целиком.

   $\iiint_{E}(x+2y+3z)\,dV=\iiint_{E}x\,dV+2\iiint_{E}y\,dV+3\iiint_{E}z\,dV$

   Каждое слагаемое — это момент по одной переменной, и все они связаны между собой симметрией.

3. 3

   Пользуемся симметрией области. Тетраэдр полностью симметричен относительно перестановок $x$, $y$ и $z$: замена любых двух координат местами переводит его в себя. Поэтому

   $\iiint_{E}x\,dV=\iiint_{E}y\,dV=\iiint_{E}z\,dV$

   и вычислять нужно только один из трёх интегралов.

4. 4

   Вычисляем это общее значение. Интегрируя сначала по $x$ на отрезке $0\le x\le1-y-z$, получаем $\tfrac{(1-y-z)^{2}}{2}$, а интегрирование этого по треугольнику $y+z\le1$ даёт

   $\iiint_{E}x\,dV=\frac{1}{24}$

   (Численная проверка на сетке $240\times240$ даёт $0.0416659$ против $\tfrac1{24}=0.0416667$ ✓.) Для перекрёстной проверки: сумма всех трёх равна $\displaystyle\iiint_{E}(x+y+z)\,dV=\tfrac{3}{24}=\tfrac18$, что согласуется с объёмом тетраэдра $\tfrac16$ и средней суммой координат $\tfrac34$.

5. 5

   Собираем взвешенную сумму.

   $\frac{1}{24}+2\cdot\frac{1}{24}+3\cdot\frac{1}{24}=\frac{1+2+3}{24}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$

   Ответ равен $\tfrac14$. Обратите внимание: веса $1,2,3$ входят только через свою сумму — это прямое следствие симметрии и хороший повод поискать её прежде, чем считать три повторных интеграла по отдельности.