Найти предел −2x − 4 при x, стремящемся к минус бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Отделим то, что может расти, от того, что расти не может. В выражении $-2x-4$ от $x$ зависит только слагаемое $-2x$; число $-4$ фиксировано. Поэтому поведение всего выражения на $-\infty$ определяется исключительно слагаемым $-2x$.

2. 2

   Аккуратно следим за знаком. Запись $x\to-\infty$ означает, что $x$ принимает отрицательные значения со всё большим модулем. Умножая большое отрицательное число на отрицательный коэффициент $-2$, получаем большое положительное число, поэтому

   $-2x\to+\infty$

   Эта смена знака и есть всё содержание задачи: естественная догадка «$x\to-\infty$, значит и функция туда же» здесь неверна.

3. 3

   Вернём константу на место. Вычитание фиксированного числа $4$ из величины, растущей сверх всякой границы, рост не останавливает:

   $-2x-4\to+\infty-4=+\infty$

4. 4

   Проверим численно. При $x=-100$: $-2(-100)-4=196$. При $x=-10000$: $19996$. При $x=-10^6$: $1999996$. Значения растут без всякого потолка — ровно так, как и предсказано.

5. 5

   Сформулируем ответ и общее правило. Предел равен $+\infty$ — функция расходится, конечного предельного значения нет. В общем случае для $ax+b$ предел при $x\to-\infty$ равен $+\infty$ при $a<0$ и $-\infty$ при $a>0$; здесь $a=-2<0$.