Используйте левые и правые концы с 6 прямоугольниками, чтобы найти два приближения площади между графиком f(x) = 2x² − x − 1 и осью x на интервале от 2 до 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим, что речь идёт именно о площади под графиком. На $[2,5]$ корни $f$ — это $x=1$ и $x=-\tfrac12$, оба левее рассматриваемого интервала, а $f(2)=5>0$. Значит, на всём $[2,5]$ функция положительна, и прямоугольники действительно измеряют площадь без необходимости менять знак.

2. 2

   Вычислим ширину каждого прямоугольника. Деление отрезка на $n$ равных частей даёт

   $\Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{5-2}{6}=\frac12$

   Точки разбиения: $2,\ \tfrac52,\ 3,\ \tfrac72,\ 4,\ \tfrac92,\ 5$.

3. 3

   Вычислим значения $f$ во всех точках разбиения. Для левой и правой суммы понадобятся одни и те же семь значений, поэтому удобно вычислить их заранее:

   $f(2)=5,\quad f\!\left(\tfrac52\right)=9,\quad f(3)=14,\quad f\!\left(\tfrac72\right)=20,\quad f(4)=27,\quad f\!\left(\tfrac92\right)=35,\quad f(5)=44$

4. 4

   Составим левую сумму по первым шести значениям. Левая сумма использует значения на левом краю каждого промежутка, то есть $f(5)$ не учитывается:

   $L_6=\tfrac12\,(5+9+14+20+27+35)=\tfrac12(110)=55$

5. 5

   Составим правую сумму по последним шести значениям. Для правой суммы $f(2)$ не берётся, а $f(5)$ добавляется:

   $R_6=\tfrac12\,(9+14+20+27+35+44)=\tfrac12(149)=74.5$

   Заметим, что $R_6-L_6=\tfrac12\big(f(5)-f(2)\big)=\tfrac12(39)=19.5$ — суммы отличаются только первым и последним слагаемыми.

6. 6

   Поясним смысл полученных чисел. Функция $f$ возрастает на $[2,5]$, поэтому каждая левая сумма недооценивает площадь, а правая — переоценивает. Истинная площадь удовлетворяет неравенству $55<A<74.5$. Если вычислить интеграл точно, получаем

   $A=\int_2^5\left(2x^2-x-1\right)dx=\frac{129}{2}=64.5$

   что действительно лежит между найденными оценками.