Вычислите тройной интеграл от 4x²·z³·y, где x меняется от 0 до 1, y — от 1 до 2 и z — от 1 до 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Определяем порядок интегрирования по дифференциалам. Дифференциалы записаны как $dx\,dy\,dz$, значит внутренняя переменная — $x$ (пределы от $0$ до $1$), затем $y$ (от $1$ до $2$), затем $z$ (от $1$ до $2$). Все шесть пределов постоянны, то есть интегрирование идёт по прямоугольному брусу и никаких граничных кривых нет.

2. 2

   Интегрируем по x. Считая $z^{3}$ и $y$ постоянными, получаем $\int_{0}^{1}4x^{2}z^{3}y\,dx=4z^{3}y\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{4}{3}z^{3}y .$

3. 3

   Интегрируем по y. Теперь $\frac43 z^{3}$ — постоянная относительно $y$: $\int_{1}^{2}\frac{4}{3}z^{3}y\,dy=\frac{4}{3}z^{3}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{2}=\frac{4}{3}z^{3}\cdot\frac{3}{2}=2z^{3}.$

4. 4

   Интегрируем по z. $\int_{1}^{2}2z^{3}\,dz=\left[\frac{z^{4}}{2}\right]_{1}^{2}=\frac{16}{2}-\frac{1}{2}=\frac{15}{2}.$

5. 5

   Перепроверяем разделением множителей. Подынтегральное выражение раскладывается в произведение $4\cdot x^{2}\cdot y\cdot z^{3}$, а пределы у бруса постоянны, поэтому интеграл равен произведению однократных интегралов: $4\cdot\frac13\cdot\frac32\cdot\frac{15}{4}=\frac{15}{2}$ — совпадает с повторным вычислением.