Укажите неопределённость предела ln x / √x при x → ∞ и найдите предел по правилу Лопиталя.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим вид неопределённости. При $x\to+\infty$ выполняется $\ln x \to +\infty$ и $\sqrt{x} \to +\infty$, поэтому дробь принимает вид $\dfrac{\infty}{\infty}$. Это один из стандартных случаев, к которым применимо правило Лопиталя.

2. 2

   Продifferentируем числитель и знаменатель по отдельности. По правилу Лопиталя $\dfrac{f}{g}$ заменяется на $\dfrac{f'}{g'}$ — это не правило дифференцирования частного, и путать их нельзя:

   $f(x) = \ln x \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x}, \qquad g(x) = x^{1/2} \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. 3

   Составим и упростим новую дробь.

   $\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})} = \frac{2\sqrt{x}}{x} = \frac{2}{\sqrt{x}}$

   Упрощение здесь принципиально важно: новое выражение уже не является неопределённостью.

4. 4

   Переходим к пределу.

   $\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{x}} = 0$

   Значит, исходный предел также равен $0$. Достаточно одного применения правила.

5. 5

   Поясним смысл результата. Это классический пример того, что логарифм растёт медленнее любой положительной степени: $\ln x = o(x^{p})$ при любом $p > 0$. Здесь $p = \tfrac12$, но тот же приём работает для любого $p$.

6. 6

   Проверим численно. При $x = 10^4$: $\dfrac{\ln 10^4}{\sqrt{10^4}} = \dfrac{9.2103}{100} = 0.092103$. При $x = 10^8$: $\dfrac{18.4207}{10^4} = 0.00184207$. При $x = 10^{16}$: $\dfrac{36.8414}{10^8} = 3.68\times10^{-7}$ ✓ — значения стремятся к $0$, и символьный предел даёт ровно $0$.