Для кривой y = 3x⁴ − 6x² + 2 найдите угловой коэффициент в точке с абсциссой 2 и уравнение касательной в этой точке.

Step-by-step solution

1. 1

   Дифференцируем функцию. Почленно получаем $\frac{dy}{dx}=12x^3-12x$. Производная — это функция углового коэффициента: подставив в неё значение $x$, получаем наклон касательной в этой точке.

2. 2

   Вычисляем угловой коэффициент при $x=2$. $12(2)^3-12(2)=12(8)-24=96-24=72$, значит у касательной $m=72$.

3. 3

   Находим настоящую точку касания. В условии задачника точка подписана как $(2,-2)$, но подстановка даёт $y(2)=3(16)-6(4)+2=48-24+2=26$. Кривая проходит через $(2,26)$; напечатанная ордината — опечатка, и если её использовать, прямая окажется не на своём месте.

4. 4

   Применяем уравнение прямой через точку и угловой коэффициент. При $m=72$ и $(x_1,y_1)=(2,26)$: $y-26=72(x-2)$.

5. 5

   Приводим к виду с угловым коэффициентом и свободным членом. $y-26=72x-144$, откуда $y=72x-118$.

6. 6

   Проверяем. При $x=2$ прямая даёт $144-118=26$, что совпадает со значением функции, а её угловой коэффициент $72$ совпадает с производной, — оба условия, которым обязана удовлетворять касательная.