Вычислите 1/Гамма(3/5) умножить на сумму от n = 1 до бесконечности (1/10)^(8n/5 + 1), делённое на Гамма(8n/5 + 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Распознаём структуру ряда. Слагаемое $\dfrac{z^{\alpha n+1}}{\Gamma(\alpha n+1)}$ при $z=\tfrac{1}{10}$ и $\alpha=\tfrac85$ — это типичный член ряда Миттага–Леффлера. Элементарной замкнутой формулы нет, поэтому рационально считать сумму численно. Так как $z<1$, а $\Gamma(\alpha n+1)$ растёт сверхэкспоненциально, существенный вклад дают только первые несколько членов.

2. 2

   Вычисляем слагаемое при $n=1$. Показатель степени равен $\tfrac85(1)+1=2{,}6$, значит, слагаемое: $\dfrac{10^{-2.6}}{\Gamma(2.6)}=\dfrac{2.511886\times10^{-3}}{1.4296246}=1.757025\times10^{-3}$.

3. 3

   Вычисляем слагаемые при $n=2$ и $n=3$. Для $n=2$ показатель $4{,}2$: $\dfrac{10^{-4.2}}{\Gamma(4.2)}=\dfrac{6.309573\times10^{-5}}{7.7566895}=8.134364\times10^{-6}$. Для $n=3$ показатель $5{,}8$: $\dfrac{10^{-5.8}}{\Gamma(5.8)}=\dfrac{1.584893\times10^{-6}}{85.621738}=1.851041\times10^{-8}$.

4. 4

   Проверяем, что хвост ряда ничтожно мал. Для $n=4$ слагаемое $2.58\times10^{-11}$, для $n=5$ — $2.48\times10^{-14}$; каждое следующее слагаемое уменьшается примерно в 100–1000 раз. Поэтому, обрывая сумму после $n=3$, фиксируем результат с избытком точности: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{-(1.6n+1)}}{\Gamma(1.6n+1)}=1.765178\times10^{-3}.$

5. 5

   Делим на $\Gamma(3/5)$. При $\Gamma(0.6)=1.4891922$ получаем $\frac{1.765178\times10^{-3}}{1.4891922}=1.185326\times10^{-3}.$

6. 6

   Записываем итог. Всё выражение равно $0.00118532$ с точностью до шести значимых цифр; уже первое слагаемое даёт 99{,}5% суммы.