Точка движется по прямой со скоростью v(t) = t² + t метров в секунду. Найдите её перемещение за промежуток времени от t = 1 до t = 2 секунд.

Step-by-step solution

1. 1

   Свяжем перемещение со скоростью. Перемещение за $[a,b]$ равно определённому интегралу $\int_a^b v(t)\,dt$; это чистое изменение координаты — обратная сторона того, что $v=\frac{ds}{dt}$.

2. 2

   Проверим знак скорости. На $[1,2]$ положительны и $t^2$, и $t$, поэтому $v(t)>0$ на всём отрезке. Точка не разворачивается, а значит перемещение и пройденный путь здесь совпадают.

3. 3

   Запишем интеграл. Перемещение $=\displaystyle\int_1^2\left(t^2+t\right)dt$.

4. 4

   Найдём первообразную. $\int\left(t^2+t\right)dt=\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}$.

5. 5

   Подставим пределы. При $t=2$: $\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}$. При $t=1$: $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$. Вычитая, $\frac{28}{6}-\frac{5}{6}=\frac{23}{6}$.

6. 6

   Запишем ответ с единицами. Перемещение равно $\frac{23}{6}\approx 3.833$ метра, что воспроизводит и численное интегрирование $t^2+t$ на $[1,2]$: $3.8333$.