Используйте локальную линейную аппроксимацию f(x) = кубический корень из (64 + x) при x = 0, чтобы приблизить кубический корень из 62,5 и сравнить результат с точным значением.

Step-by-step solution

1. 1

   Почему функция записана как $\sqrt[3]{64+x}$, а не $\sqrt[3]{x}$? Линейная аппроксимация даёт хорошие результаты только вблизи точки разложения, причём она имеет смысл только тогда, когда значение функции в этой точке известно точно. Здесь $64$ — точный куб, а $62{,}5$ находится рядом, поэтому удобно сдвинуть переменную так, чтобы базовая точка была $x_0=0$ и $f(0)=\sqrt[3]{64}=4$ вычислялось без приближений.

2. 2

   Вычислим производную и подставим базовую точку. Пусть $f(x)=(64+x)^{1/3}$,

   $f'(x)=\frac13(64+x)^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{(64+x)^2}}$

   Подставляя $x=0$, получаем:

   $f'(0)=\frac{1}{3\cdot 64^{2/3}}=\frac{1}{3\cdot 16}=\frac{1}{48}$

3. 3

   Запишем уравнение линейной аппроксимации. Касательная в точке $x_0=0$ имеет вид:

   $L(x)=f(0)+f'(0)(x-0)=4+\frac{x}{48}$

   Это означает: небольшое изменение $x$ под корнем приводит к изменению значения корня примерно на $x/48$. Именно множитель $1/48$ определяет точность приближения.

4. 4

   Подберём значение $x$, соответствующее требуемому числу. Необходимо, чтобы $64+x=62.5$, откуда

   $x=-1.5$

   Тогда

   $\sqrt[3]{62.5}\approx L(-1.5)=4+\frac{-1.5}{48}=4-0.03125=3.96875=\frac{127}{32}$

5. 5

   Сравним с точным значением.

   $\sqrt[3]{62.5}=3.968503\ldots$

   $\text{абсолютная ошибка}=3.96875-3.968503=0.000247,\qquad\text{относительная ошибка}\approx 0.0062\%$

   Совпадение до четырёх значащих цифр достигается всего одной производной.

6. 6

   Поясним, почему ошибка именно такого знака — это не случайность. Найдём вторую производную:

   $f''(x)=-\frac{2}{9}(64+x)^{-5/3}<0$

   Значит, $f$ вблизи $x=0$ вогнута вниз и её график лежит ниже любой касательной. Следовательно, линейная аппроксимация всегда даёт завышение — и действительно $3.96875>3.968503$. Та же логика позволяет оценить ошибку: она примерно равна $\tfrac12|f''(0)|x^2$, что для $x=-1.5$ даёт около $0.00024$, совпадая с реальной ошибкой практически точно.