Найдите предел 9 − x² при x, стремящемся к плюс бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Перепишем выражение, выделяя старший член. Переставим слагаемые: $9-x^2=-x^2+9$. Это квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом $-1$. На бесконечности именно старший член определяет поведение функции, поэтому его знак и будет решающим.

2. 2

   Оценим вклад старшего члена. При $x\to\infty$ имеем $x^2\to+\infty$, значит

   $-x^2\to-\infty$

   Минус перед $x^2$ — ключевой момент: часто ошибочно считают, что предел $+\infty$, если смотреть только на $x^2$ без учёта знака.

3. 3

   Прибавим константу. Прибавление постоянного числа $9$ к выражению, стремящемуся к минус бесконечности, не влияет на его расходимость:

   $9-x^2\to-\infty$

4. 4

   Проверим на числовых примерах. При $x=10$: $9-100=-91$. При $x=100$: $-9991$. При $x=1000$: $-999991$. Значения функции убывают без ограничения.

5. 5

   Свяжем с графиком. График $y=9-x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, вершина в точке $(0,9)$. Обе ветви убывают бесконечно; действительно, $\lim_{x\to-\infty}(9-x^2)=-\infty$ тоже. Предел равен $-\infty$, то есть функция расходится и не стремится к конечному значению.