Вычислить предел (sin 4x + cos 2x)/(4x - π) при x стремящемся к π/4.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим вид выражения. При $x=\frac{\pi}{4}$ в числителе получаем $\sin\pi+\cos\frac{\pi}{2}=0+0=0$, в знаменателе $\pi-\pi=0$, то есть имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$.

2. 2

   Сделаем замену переменной. Подставим $x=\frac{\pi}{4}+t$ при $t \to 0$. Тогда знаменатель становится $4t$, что удобно для деления.

3. 3

   Преобразуем числитель. $\sin 4x=\sin(\pi+4t)=-\sin 4t$, а $\cos 2x=\cos\left(\frac{\pi}{2}+2t\right)=-\sin 2t$, значит числитель равен $-\sin 4t-\sin 2t$.

4. 4

   Делим на $t$. Получаем $\frac{-\frac{\sin 4t}{t}-\frac{\sin 2t}{t}}{4}$, и по стандартному пределу $\frac{\sin kt}{t}\to k$ числитель стремится к $-4-2=-6$.

5. 5

   Завершаем вычисления. Предел равен $\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}$. Дифференцируя числитель и знаменатель (правило Лопиталя), получаем $\frac{4\cos 4x-2\sin 2x}{4}\to\frac{-4-2}{4}$ — тот же результат.

6. 6

   Проверим численно. При $x=\frac{\pi}{4}+10^{-7}$ исходное выражение даёт $-1.5000000$, что подтверждает $-\frac{3}{2}$.