Найти неопределённый интеграл 1/x² − 1/(3√x) по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Перепишем оба слагаемых в виде степеней $x$. Формула для интеграла степенной функции применяется только после избавления от корней и дробей:

   $\frac{1}{x^2}=x^{-2},\qquad \frac{1}{3\sqrt x}=\frac13x^{-1/2}$

   Именно это преобразование определяет дальнейшее решение — после него вычисления становятся чисто механическими.

2. 2

   Вычислим интеграл $x^{-2}$. Прибавим к показателю степени единицу — получаем $-1$:

   $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x$

   Формула степенного интеграла применима, так как новый показатель не равен $-1$; только для $\int x^{-1}dx$ нужен логарифм.

3. 3

   Вычислим интеграл $\tfrac13x^{-1/2}$. Прибавим единицу к $-\tfrac12$ — получаем $+\tfrac12$:

   $\int\frac13x^{-1/2}dx=\frac13\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}=\frac{2}{3}x^{1/2}=\frac23\sqrt x$

   Деление на $\tfrac12$ удваивает коэффициент, поэтому $\tfrac13$ превращается в $\tfrac23$.

4. 4

   Объединим с минусом и добавим одну произвольную константу:

   $\int\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3\sqrt x}\right)dx=-\frac1x-\frac23\sqrt x+C$

5. 5

   Проверим результат дифференцированием:

   $\frac{d}{dx}\left(-x^{-1}-\frac23x^{1/2}+C\right)=x^{-2}-\frac23\cdot\frac12x^{-1/2}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3\sqrt x}\;\checkmark$

   Следует отметить область определения: подынтегральная функция требует $x>0$ из-за корня, поэтому первообразная корректна на $(0,\infty)$.