Вычислить градиент и направленную производную в направлении вектора (0, –1) для функции f(x, y) = x²y + x e^(–xy).

Step-by-step solution

1. 1

   Вспомним правило и проверим вектор направления. Для единичного вектора $\mathbf v$ направленная производная равна скалярному произведению $D_{\mathbf v}f=\nabla f\cdot \mathbf v$. Здесь $\|(0,-1)\|=\sqrt{0^2+(-1)^2}=1$, то есть $\mathbf v$ уже является единичным вектором, и нормировка не требуется. Если бы длина была не равна 1, пришлось бы сначала разделить на длину.

2. 2

   Вычислим производную по $x$. Для слагаемого $x^2y$ получаем $2xy$. Для $xe^{-xy}$ применяется правило произведения и цепное правило, так как $\partial_x e^{-xy}=-y e^{-xy}$:

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(xe^{-xy}\right)=e^{-xy}-xy\,e^{-xy}.$

   Итак,

   $f_x=2xy+(1-xy)e^{-xy}.$

3. 3

   Вычислим производную по $y$. Теперь $x$ считается константой, поэтому $x^2y$ даёт $x^2$, а $\partial_y e^{-xy}=-x e^{-xy}$ превращает второе слагаемое в $-x^2 e^{-xy}$:

   $f_y=x^{2}-x^{2}e^{-xy}=x^{2}\left(1-e^{-xy}\right).$

4. 4

   Соберём градиент.

   $\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}2xy+(1-xy)e^{-xy}\\[2pt] x^{2}\left(1-e^{-xy}\right)\end{pmatrix}.$

5. 5

   Выполним скалярное произведение с направлением. Так как $\mathbf v=(0,-1)$ зануляет первую компоненту, остаётся только частная производная по $y$, но со знаком минус:

   $D_{\mathbf v}f=\nabla f\cdot(0,-1)=-f_y=-x^{2}\left(1-e^{-xy}\right)=x^{2}\left(e^{-xy}-1\right).$

   Это соответствует геометрическому смыслу: движение в направлении $-y$ — это движение назад по $y$, поэтому скорость изменения равна минус $f_y$.

6. 6

   Проверим численно на примерах. При $(x,y)=(1.3,0.7)$ центральная разность даёт $f_x\approx 1.856227$ и $f_y\approx 1.009734$, что совпадает с формулами, а $D_{\mathbf v}f\approx-1.009734$. При $(-2,1.5)$ формула даёт $D_{\mathbf v}f\approx 76.342$, что также совпадает с численной производной.