Найдите неопределённый интеграл 2 делить на 1 минус x в квадрате.

Step-by-step solution

1. 1

   Вынесем множители в знаменателе. Заметим, что $1-x^2=(1-x)(1+x)$ — два различных линейных множителя, что как раз позволяет разложить дробь на простые с постоянными в числителях. Обратим внимание на порядок: $(1-x)$, а не $(x-1)$ — так проще избежать лишнего минуса в дальнейшем.

2. 2

   Запишем разложение на простые дроби. Представим:

   $\frac{2}{(1-x)(1+x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}$

   и приведём к общему знаменателю:

   $2=A(1+x)+B(1-x)=(A+B)+(A-B)x$

3. 3

   Приравняем коэффициенты. В левой части нет $x$, а свободный член равен $2$, значит:

   $A-B=0,\qquad A+B=2\quad\Rightarrow\quad A=B=1$

   Таким образом, $\dfrac{2}{1-x^2}=\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}$.

4. 4

   Проинтегрируем каждое слагаемое, учитывая производную внутренней функции.

   $\int\frac{dx}{1-x}=-\ln|1-x|,\qquad \int\frac{dx}{1+x}=\ln|1+x|$

   Знак минус в первом интеграле появляется из-за производной $1-x$, равной $-1$. Это частая ошибка при вычислении подобных интегралов.

5. 5

   Объединим логарифмы.

   $\int\frac{2}{1-x^2}\,dx=\ln|1+x|-\ln|1-x|+C=\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C$

   На промежутке $|x|<1$ это эквивалентно $2\operatorname{artanh}(x)+C$.

6. 6

   Проверим результат дифференцированием.

   $\frac{d}{dx}\left(\ln|1+x|-\ln|1-x|\right)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{(1-x)+(1+x)}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}$

   Получен исходный подынтегральный выражение, что подтверждает правильность ответа.