Найдите предел (1/i) · e^{ix} при x стремящемся к бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Упростим постоянный множитель $\dfrac{1}{i}$. Домножим числитель и знаменатель на $i$, используя $i^{2}=-1$:

   $\frac{1}{i}=\frac{i}{i^{2}}=\frac{i}{-1}=-i$

   Таким образом, выражение принимает вид $-ie^{ix}$. Избавление от $i$ в знаменателе — это комплексный аналог рационализации.

2. 2

   Раскроем скобки по формуле Эйлера. Поскольку $e^{ix}=\cos x+i\sin x$,

   $-i\left(\cos x+i\sin x\right)=-i\cos x-i^{2}\sin x=\sin x-i\cos x$

   Действительная часть — $\sin x$, мнимая часть — $-\cos x$.

3. 3

   Проверим наличие предела у каждой компоненты. Комплексная функция стремится к пределу тогда и только тогда, когда к пределу стремятся её действительная и мнимая части. Здесь $\sin x$ и $\cos x$ бесконечно колеблются между $-1$ и $1$, поэтому ни одна из частей не имеет предела при $x\to\infty$.

4. 4

   Отметим, что модуль не убывает. Так как $\left|e^{ix}\right|=1$ и $\left|-i\right|=1$,

   $\left|\frac{1}{i}e^{ix}\right|=1\quad\text{для любого }x$

   Точка не закручивается к центру: она движется по единичной окружности с постоянной скоростью, возвращаясь в исходную точку каждые $2\pi$.

5. 5

   Делаем вывод, что предел не существует. Можно рассмотреть две подпоследовательности: при $x=2\pi n$ выражение равно $-i$, а при $x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n$ — $1$. Предел требовал бы совпадения этих значений, поэтому

   $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{i}e^{ix}\ \text{не существует.}$