При каких значениях x функция f(x) = (x² − 1)/(x² − 3x + 2) разрывна? Классифицировать каждый разрыв как устранимый или неустранимый и обосновать ответ.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим подозрительные точки: нули знаменателя. Рациональная функция непрерывна везде, где знаменатель не равен нулю, поэтому проблемы могут возникнуть только там, где

   $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0\ \Longrightarrow\ x=1,\ x=2.$

2. 2

   Разложим на множители и числитель — именно это решает вопрос классификации. Так как $x^2-1=(x-1)(x+1)$,

   $f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}.$

   Разрыв устранимый ровно тогда, когда «виновный» множитель сокращается: в этом случае двусторонний предел существует и не хватает только значения функции.

3. 3

   Разбираем $x=1$: множитель сокращается, значит предел существует. При $x\neq 1$ функция равна $\dfrac{x+1}{x-2}$, поэтому

   $\lim_{x\to 1}f(x)=\frac{1+1}{1-2}=-2,$

   а $f(1)$ не определено. Предел существует, но не совпадает с (отсутствующим) значением, поэтому $x=1$ — устранимый разрыв, дырка в точке $(1,-2)$. Доопределение $f(1)=-2$ его залечивает.

4. 4

   Разбираем $x=2$: множитель остаётся. Рядом с $x=2$ сокращённая форма имеет вид $\dfrac{x+1}{x-2}$, где числитель стремится к $3\neq 0$, а знаменатель — к $0$, поэтому

   $\lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty.$

   Численно: $f(1.999999)\approx -3\times 10^{6}$ и $f(2.000001)\approx 3\times 10^{6}$. Конечного предела нет, поэтому никакое доопределение не спасёт: $x=2$ — неустранимый разрыв (разрыв второго рода, бесконечный, с вертикальной асимптотой).

5. 5

   Формулируем вывод с обоснованием. Функция $f$ разрывна только в точках $x=1$ и $x=2$; в $x=1$ разрыв устранимый, потому что общий множитель $x-1$ сокращается и предел $-2$ существует, а в $x=2$ разрыв неустранимый, потому что односторонние пределы бесконечны и противоположны по знаку.