Найти обе первые частные производные функции z = ln((x - √(x² - y²)) / (x + √(x² - y²))).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала преобразуем логарифм дроби в разность логарифмов. Упрощение до дифференцирования избавляет от необходимости применять правило дифференцирования частного. Обозначим $u=\sqrt{x^2-y^2}$,

   $z=\ln(x-u)-\ln(x+u)$

   Также заранее выпишем частные производные подкоренного выражения, так как они понадобятся в обоих случаях:

   $u_x=\frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}=\frac{x}{u},\qquad u_y=\frac{-y}{\sqrt{x^2-y^2}}=-\frac{y}{u}$

   Ещё одно полезное равенство: $x^2-u^2=x^2-(x^2-y^2)=y^2$.

2. 2

   Дифференцируем по $x$, считая $y$ постоянным. Применяем правило цепочки к каждому логарифму:

   $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1-u_x}{x-u}-\frac{1+u_x}{x+u}=\frac{1-\dfrac{x}{u}}{x-u}-\frac{1+\dfrac{x}{u}}{x+u}$

   Не стоит думать, что эти два выражения взаимно уничтожаются — каждое нужно упростить отдельно.

3. 3

   Упрощаем каждое слагаемое по отдельности. Переносим числители под общий знаменатель $u$:

   $\frac{1-\frac{x}{u}}{x-u}=\frac{\frac{u-x}{u}}{x-u}=\frac{-(x-u)}{u(x-u)}=-\frac{1}{u}$

   $\frac{1+\frac{x}{u}}{x+u}=\frac{\frac{u+x}{u}}{x+u}=\frac{x+u}{u(x+u)}=\frac{1}{u}$

   Таким образом, первое слагаемое даёт $-\tfrac1u$, второе — $+\tfrac1u$, а производная равна их разности:

   $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{u}-\frac{1}{u}=-\frac{2}{u}=-\frac{2}{\sqrt{x^2-y^2}}$

   На этом этапе важно не ошибиться со знаком: из $-\tfrac1u$ вычитается $+\tfrac1u$, получается $-\tfrac2u$, а не $0$.

4. 4

   Дифференцируем по $y$, считая $x$ постоянным. Теперь только $u$ зависит от $y$:

   $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-u_y}{x-u}-\frac{u_y}{x+u}=\frac{y/u}{x-u}+\frac{y/u}{x+u}=\frac{y}{u}\left(\frac{1}{x-u}+\frac{1}{x+u}\right)$

   Оба слагаемых положительны, так как в каждом стоит множитель $-u_y=+\dfrac{y}{u}$: минусы из правила частного и из $u_y=-y/u$ взаимно уничтожаются.

5. 5

   Объединяем дроби, используя $x^2-u^2=y^2$.

   $\frac{1}{x-u}+\frac{1}{x+u}=\frac{(x+u)+(x-u)}{x^2-u^2}=\frac{2x}{y^2}$

   Следовательно,

   $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{u}\cdot\frac{2x}{y^2}=\frac{2x}{y\,u}=\frac{2x}{y\sqrt{x^2-y^2}}$

6. 6

   Проверим оба ответа численно. Подставим $x=3$, $y=2$, тогда $u=\sqrt{9-4}=\sqrt5\approx2.2360680$. Центральная разность с шагом $10^{-6}$ даёт

   $z_x\approx-0.8944272,\qquad z_y\approx1.3416408$

   Формулы дают $-2/\sqrt5=-0.8944272$ и $2(3)/(2\sqrt5)=1.3416408$. Совпадает до седьмого знака. (Часто встречающаяся ошибка $z_x=0$ сразу опровергается: $z$ действительно меняется при изменении $x$ при фиксированном $y$.)