Вычислите тройной интеграл от x² + y² по телу внутри параболоида x² + y² = 2z между плоскостями z = 2 и z = 8.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем, что подынтегральная функция — это $r^2$. Сумма $x^2+y^2$ и есть квадрат цилиндрического радиуса, поэтому цилиндрические координаты напрашиваются сами: подынтегральное выражение превращается в одну степень $r$ вовсе без зависимости от угла:

   $x^2+y^2=r^2,\qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$

   Именно эта величина стоит под интегралом при вычислении момента инерции тела относительно оси $z$ — оттого она и встречается так часто.

2. 2

   Расставляем пределы, разрезая тело горизонтальными сечениями. Условие «внутри параболоида» $z=\tfrac{r^2}{2}$ означает $r\le\sqrt{2z}$, а плоскости ограничивают $z$ между $2$ и $8$:

   $\iiint_E\left(x^2+y^2\right)dV=\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{2z}} r^2\cdot r\,dr\,d\theta\,dz=\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{2z}} r^3\,dr\,d\theta\,dz$

3. 3

   Интегрируем по радиусу. При фиксированной высоте $z$

   $\int_0^{\sqrt{2z}} r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^{\sqrt{2z}}=\frac{(2z)^2}{4}=z^2$

   То, что $(2z)^2/4$ сворачивается ровно в $z^2$, — маленькая удача, заложенная коэффициентом $2$ в уравнении $x^2+y^2=2z$; благодаря ей остаток задачи становится совсем простым.

4. 4

   Обходим угол, а затем высоту. От $\theta$ ничего не зависит, поэтому этот интеграл даёт лишь множитель $2\pi$:

   $\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi} z^2\,d\theta\,dz=2\pi\int_2^8 z^2\,dz=2\pi\left[\frac{z^3}{3}\right]_2^8=2\pi\cdot\frac{512-8}{3}=2\pi\cdot 168$

5. 5

   Записываем ответ и сверяем его с объёмом.

   $\iiint_E\left(x^2+y^2\right)dV=336\pi\approx 1055.6$

   Быстрая прикидка на правдоподобие: объём того же тела равен $\int_2^8 \pi(2z)\,dz=\pi(64-4)=60\pi$, поэтому среднее значение $x^2+y^2$ по телу составляет $\tfrac{336\pi}{60\pi}=5.6$. Для области, радиус которой меняется от $2$ до $4$, такой средний квадрат радиуса вполне правдоподобен.