Представьте ln(x + √(a² + x²)) через арсинус гиперболический при a > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Вспомним логарифмическую форму арсинуса гиперболического. Решая $\sinh t=u$ относительно $t$, получаем

   $\operatorname{arsinh}(u)=\ln\left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)$

   Здесь под корнем стоит $+1$: в стандартной форме нет свободного параметра, поэтому исходное выражение нужно привести к этому виду. Такая запись часто встречается как первообразная для $\dfrac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$, поэтому преобразование полезно знать.

2. 2

   Выполним замену переменной через $a$. Подставим $u=\dfrac{x}{a}$ в формулу:

   $\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)=\ln\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)$

3. 3

   Упростим выражение под корнем. Приведём к общему знаменателю $a^{2}$ и учтём, что $a>0$, поэтому $\sqrt{a^{2}}=a$:

   $\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}=\sqrt{\frac{x^{2}+a^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}$

   Предположение $a>0$ здесь важно: при $a<0$ появилось бы модульное выражение, и итоговая константа изменилась бы.

4. 4

   Объединим оба слагаемых под одним знаменателем $a$.

   $\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)=\ln\left(\frac{x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}\right)=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)-\ln a$

   используя свойство $\ln\frac MN=\ln M-\ln N$.

5. 5

   Преобразуем к требуемому виду.

   $\ln\left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)=\operatorname{arsinh}\left(\frac{x}{a}\right)+\ln a$

   Оба выражения отличаются только на слагаемое $\ln a$, поэтому оба встречаются как первообразные для $\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$ в разных справочниках.

6. 6

   Проверим на числовом примере. Пусть $a=2.7$, $x=1.3$: левая часть $\ln(1.3+\sqrt{7.29+1.69})=1.4578391$, а $\operatorname{arsinh}(0.4814815)+\ln 2.7=0.4645873+0.9932518=1.4578391$ — совпадает ✓.