Найдите неопределённый интеграл (x - 1) / (x² - 2x + 3)² по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим производную основания знаменателя. Прежде чем применять разложение на простые дроби, найдём производную выражения под квадратом:

   $\frac{d}{dx}\left(x^2-2x+3\right)=2x-2=2(x-1)$

   Числитель $x-1$ — это ровно половина этой производной. Если числитель совпадает с константным множителем внутренней производной, подстановка $u$ решает интеграл сразу — не требуется ни выделять полный квадрат, ни использовать арктангенс.

2. 2

   Выполним подстановку. Пусть

   $u=x^2-2x+3,\qquad du=2(x-1)\,dx\quad\Longrightarrow\quad (x-1)\,dx=\tfrac12\,du$

   Весь блок $(x-1)\,dx$ заменяется сразу, поэтому переменная $x$ полностью уходит из интеграла.

3. 3

   Перепишем интеграл через $u$.

   $\int\frac{x-1}{(x^2-2x+3)^2}\,dx=\frac12\int \frac{du}{u^{2}}=\frac12\int u^{-2}\,du$

4. 4

   Вычислим интеграл по степенному правилу. По формуле $\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}$ при $n=-2$:

   $\frac12\int u^{-2}\,du=\frac12\cdot\frac{u^{-1}}{-1}=-\frac{1}{2u}$

5. 5

   Вернёмся к переменной $x$ и добавим константу.

   $\int \frac{x-1}{\left(x^2-2x+3\right)^2}\,dx=-\frac{1}{2\left(x^2-2x+3\right)}+C$

   Знаменатель $x^2-2x+3=(x-1)^2+2$ не обращается в ноль ни при каких $x$, поэтому эта первообразная определена на всей $\mathbb{R}$.

6. 6

   Проверим результат дифференцированием. Пусть $F(x)=-\tfrac12 u^{-1}$,

   $F'(x)=\tfrac12 u^{-2}u'=\frac{2x-2}{2\left(x^2-2x+3\right)^2}=\frac{x-1}{\left(x^2-2x+3\right)^2}\;\checkmark$

   Численная проверка при $x=2{,}5$ даёт $F'(2{,}5)=0{,}08304498$, что совпадает с исходным подынтегральным выражением.