Вычислить интеграл по θ от 0 до x и по r от 0 до 1/2 от модуля выражения (r³ sin θ cos θ + (1/3) r² sin θ) dr dθ.

Step-by-step solution

1. 1

   Разложим выражение под знаком модуля на множители. $r^3\sin\theta\cos\theta+\frac13r^2\sin\theta = r^2\sin\theta\left(r\cos\theta+\frac13\right).$ Разложение на множители позволяет определить знак выражения без раздельного рассмотрения случаев по $r$.

2. 2

   Определим знак выражения на области интегрирования. $r^2\ge0$ всегда. Для $0\le\theta\le x\le\tfrac{\pi}{2}$ выполняется $\sin\theta\ge0$ и $\cos\theta\ge0$, значит, $r\cos\theta+\tfrac13\ge\tfrac13>0$. Каждый множитель неотрицателен, поэтому модуль можно опустить. (Если бы $x>\tfrac{\pi}{2}$, скобка могла бы стать отрицательной при $r\cos\theta<-\tfrac13$, и задачу пришлось бы делить на случаи.)

3. 3

   Выполним интегрирование по r, считая θ постоянным. $\int_0^{1/2}r^3\,dr = \frac{1}{64},\qquad \int_0^{1/2}r^2\,dr = \frac{1}{24},$ поэтому внутренний интеграл равен $\frac{\sin\theta\cos\theta}{64}+\frac{\sin\theta}{72},$ используя $\tfrac13\cdot\tfrac1{24} = \tfrac1{72}$.

4. 4

   Выполним интегрирование первой части по θ. Подставим $u=\sin\theta$, $\int_0^x\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \frac{\sin^2x}{2},$ значит, этот вклад равен $\dfrac{\sin^2x}{128}$.

5. 5

   Выполним интегрирование второй части. $\int_0^x\sin\theta\,d\theta = 1-\cos x,$ что даёт вклад $\dfrac{1-\cos x}{72}$.

6. 6

   Объединим результаты и проверим вычисления. $\int_0^x\!\!\int_0^{1/2}\left|\cdots\right|dr\,d\theta = \frac{\sin^2x}{128}+\frac{1-\cos x}{72}.$ При $x=1.1$ подстановка в формулу даёт $0.0137940252$, а численное интегрирование исходного выражения с модулем возвращает $0.0137940252$ — совпадение до десяти знаков. При $x=0$ обе стороны равны $0$, как и должно быть.