Решите дифференциальное уравнение dy/dx = ky, где k — константа.

Step-by-step solution

1. 1

   Распознаём модель. Данное уравнение выражает, что скорость изменения величины пропорциональна самой величине — это основной закон для задач о росте популяции, радиоактивном распаде, непрерывно начисляемых процентах и законе охлаждения Ньютона. Решив его один раз, получаем общий вид решения для всех этих случаев.

2. 2

   Разделяем переменные. Деление на $y$ требует, чтобы $y \ne 0$ — это условие отмечается и к нему возвращаются позже:

   $\frac{dy}{y} = k\,dx$

3. 3

   Интегрируем обе части.

   $\int \frac{1}{y}\,dy = \int k\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = kx + C_0$

   Модуль обязателен, так как первообразная $\tfrac{1}{y}$ — это $\ln|y|$ по обе стороны от нуля.

4. 4

   Возводим в степень и поглощаем константы.

   $|y| = e^{kx + C_0} = e^{C_0}e^{kx}$

   Обозначим $A = e^{C_0} > 0$ и позволим знаку $y$ быть любым, введя $C = \pm A$. Тогда получаем

   $y = Ce^{kx}$

5. 5

   Восстанавливаем исключённое решение. Деление на $y$ исключило случай $y \equiv 0$, однако эта постоянная функция также удовлетворяет уравнению — и она восстанавливается при $C = 0$. Таким образом, если разрешить $C$ быть любым действительным числом, $y = Ce^{kx}$ даёт общее решение без потерь.

6. 6

   Проверяем и анализируем поведение. Дифференцируя, получаем $y' = Cke^{kx} = k\left(Ce^{kx}\right) = ky$. При начальном условии $y(0) = y_0$ имеем $C = y_0$, то есть $y = y_0e^{kx}$: рост при $k > 0$, убывание при $k < 0$, постоянная функция при $k = 0$. Время удвоения для $k > 0$ равно $\tfrac{\ln 2}{k}$.