Найдите площадь части плоскости z = −2x + 4y + 1, лежащей над областью 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 5. Дайте точный ответ.

Step-by-step solution

1. 1

   Вспоминаем формулу площади поверхности. Для графика $z=f(x,y)$ над областью $R$ $S=\iint_R\sqrt{1+f_x^{\,2}+f_y^{\,2}}\,dA.$

2. 2

   Дифференцируем уравнение плоскости. При $f(x,y)=-2x+4y+1$ всюду $f_x=-2$ и $f_y=4$. Функция $f$ линейна, поэтому эти частные производные постоянны — именно это и делает интеграл тривиальным.

3. 3

   Вычисляем подынтегральное выражение. $\sqrt{1+(-2)^2+4^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}.$ Знак $f_x$ роли не играет, ведь производная входит в квадрате.

4. 4

   Выносим постоянный множитель за знак интеграла. $S=\iint_R\sqrt{21}\,dA=\sqrt{21}\iint_R dA=\sqrt{21}\cdot\operatorname{area}(R).$

5. 5

   Считаем площадь основания и завершаем. Площадь прямоугольника равна $3\times 5=15$, поэтому $S=15\sqrt{21}\approx 68.7386.$ Геометрически $\sqrt{21}$ — это постоянный коэффициент, с которым наклонная плоскость растягивает горизонтальную площадь.