Вычислите тройной интеграл от xyz по единичному кубу 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверяем, что интеграл разделяется. Все шесть пределов постоянны, а подынтегральное выражение — чистое произведение $x \cdot y \cdot z$, где каждый множитель зависит ровно от одной переменной. Это и есть условие, при котором кратный интеграл распадается в произведение однократных, — этим приёмом мы воспользуемся в конце как проверкой.

2. 2

   Интегрируем по z, считая x и y постоянными.

   $\int_0^1 xyz\,dz = xy\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^1 = \frac{xy}{2}$

   Интегрирование идёт только по $z$, поэтому $xy$ проходит сквозь него без изменений.

3. 3

   Интегрируем по y.

   $\int_0^1 \frac{xy}{2}\,dy = \frac{x}{2}\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^1 = \frac{x}{4}$

4. 4

   Интегрируем по x.

   $\int_0^1 \frac{x}{4}\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{8}$

5. 5

   Подтверждаем разделённой формой. Так как интеграл распадается на множители,

   $\int_0^1 \!\! \int_0^1 \!\! \int_0^1 xyz\,dV = \left(\int_0^1 x\,dx\right)\left(\int_0^1 y\,dy\right)\left(\int_0^1 z\,dz\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$

   Это же число — среднее значение $xyz$ по кубу (объём куба равен $1$), что согласуется с тем, что у независимых равномерных $x$, $y$, $z$ математическое ожидание произведения равно $\tfrac12 \cdot \tfrac12 \cdot \tfrac12$.