Вычислите тройной интеграл от yz по области 0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ y².

Step-by-step solution

1. 1

   Понимаем, почему порядок интегрирования здесь задан жёстко. Внутренний предел по $z$ равен $y^2$, поэтому по $z$ нужно интегрировать раньше, чем по $y$: пока внутренний предел зависит от средней переменной, исключить её нельзя. Область — тело под параболическим листом $z = y^2$, вытянутое вдоль $x$.

2. 2

   Интегрируем по z. Считая $y$ постоянным:

   $\int_0^{y^2} yz\,dz = y\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^{y^2} = y \cdot \frac{y^4}{2} = \frac{y^5}{2}$

   Множитель $y$ из подынтегральной функции и предел $y^2$ складываются вместе, поднимая степень с $1$ до $5$.

3. 3

   Интегрируем по y от 0 до 2.

   $\int_0^2 \frac{y^5}{2}\,dy = \frac{1}{2}\left[\frac{y^6}{6}\right]_0^2 = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$

4. 4

   Интегрируем по x. От $x$ больше ничего не зависит, поэтому остаётся умножить на длину промежутка $2\pi$:

   $\int_0^{2\pi}\frac{16}{3}\,dx = \frac{16}{3}\cdot 2\pi = \frac{32\pi}{3}$

5. 5

   Проверяем через дополняющую область. По всему параллелепипеду $0 \le z \le 4$ интеграл равен $2\pi \cdot \int_0^2 y\,dy \cdot \int_0^4 z\,dz = 2\pi \cdot 2 \cdot 8 = 32\pi$. Для части над листом, $y^2 \le z \le 4$, получается $\frac{64\pi}{3}$, и

   $\frac{32\pi}{3} + \frac{64\pi}{3} = 32\pi \ \checkmark$

   Значит, $\frac{32\pi}{3} \approx 33.51$ подтверждено.