Найдите производную ln(3x²).

Step-by-step solution

1. 1

   Применим цепное правило для логарифма. Для любой дифференцируемой внутренней функции выполняется

   $\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u}$

   Здесь $u=3x^2$, значит, производная равна производной внутренней функции, делённой на саму внутреннюю — всё по одной формуле, правило произведения не требуется.

2. 2

   Вычислим производную внутренней функции.

   $u=3x^2\ \Longrightarrow\ u'=6x$

3. 3

   Подставим и упростим выражение.

   $\frac{d}{dx}\ln\left(3x^2\right)=\frac{6x}{3x^2}=\frac{2}{x}$

   Коэффициент $3$ и одна степень $x$ сокращаются. Ответ определён при $x\neq 0$, что совпадает с областью определения $\ln(3x^2)$.

4. 4

   Объясним, почему тройка обязательно исчезает. По свойствам логарифма

   $\ln\left(3x^2\right)=\ln 3+2\ln x$

   — это константа плюс $2\ln x$. Производная константы равна нулю, значит, остаётся $2\cdot\tfrac1x=\tfrac2x$ — это объясняет сокращение. Любая константа-множитель внутри логарифма не влияет на производную.

5. 5

   Проверим численно. При $x=2.3$ центральная разность даёт $0.8695652$, а $\tfrac{2}{2.3}=0.8695652$ ✓. Производная положительна при $x>0$ и отрицательна при $x<0$, что соответствует U-образной области определения $\ln(3x^2)$.