Вычислить предел n²·(1 − cos(2/n)) при n стремящемся к бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим неопределённость. При $n\to\infty$ имеем $n^2\to\infty$, а $1-\cos\frac{2}{n}\to 0$, то есть произведение имеет вид $\infty\cdot 0$ и требует преобразования для вычисления предела.

2. 2

   Введём новую переменную. Пусть $u=\frac{2}{n}$, тогда $n=\frac{2}{u}$ и $u\to 0^+$. Подставляя, получаем $n^2\left(1-\cos\frac{2}{n}\right)=\frac{4}{u^2}\left(1-\cos u\right)=4\cdot\frac{1-\cos u}{u^2}$.

3. 3

   Вспомним стандартный предел. Известно, что $\lim_{u\to 0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac{1}{2}$. Это следует из формулы половинного угла $1-\cos u=2\sin^2\frac{u}{2}$ и предела $\lim\frac{\sin t}{t}=1$.

4. 4

   Объединим результаты. Получаем, что предел равен $4\cdot\frac{1}{2}=2$.

5. 5

   Проверим с помощью разложения в ряд. Так как $\cos u=1-\frac{u^2}{2}+O(u^4)$, то $1-\cos\frac{2}{n}\approx\frac{2}{n^2}$, а при умножении на $n^2$ получаем $2$.

6. 6

   Проверим численно. При $n=10^{5}$ выражение принимает значение $1.99999999993$, что подтверждает найденный предел.