Найти сумму x^(n-1)/n при n от 1 до бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Сдвинем показатель степени для перехода к стандартному ряду. Известная формула содержит $x^{n}$ в числителе, а не $x^{n-1}$. Для $x\neq 0$ можно вынести один множитель $x$ за знак суммы:

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n-1}}{n}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}$

   Здесь появляется ограничение $x\neq 0$, к которому вернёмся позже.

2. 2

   Используем разложение логарифма в ряд. Интегрируя почленно геометрическую прогрессию $\sum_{n\ge 0}t^{n}=\dfrac{1}{1-t}$ от $0$ до $x$, получаем

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=-\ln(1-x),\qquad |x|<1$

3. 3

   Делим на $x$ для получения замкнутой формулы.

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n-1}}{n}=-\frac{\ln(1-x)}{x},\qquad 0<|x|<1$

4. 4

   Рассмотрим отдельно случай $x=0$. В исходном ряде при $x=0$ получаем $\dfrac{0^{0}}{1}+0+0+\cdots$, где первый член — неоднозначное выражение $0^{0}$; в замкнутой формуле также выходит $\tfrac00$. Оба случая разрешаются переходом к пределу:

   $\lim_{x\to 0}\frac{-\ln(1-x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1/(1-x)}{1}=1$

   по правилу Лопиталя. Значит, при $x=0$ — устранимая особенность, и естественное значение здесь — $1$.

5. 5

   Запишем полный ответ.

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n-1}}{n}=\begin{cases}-\dfrac{\ln(1-x)}{x},&0<|x|<1\\[4pt]1,&x=0\end{cases}$

   Для примера: при $x=0.4$ частичная сумма из 400 членов даёт $1.27706405941$, а $-\ln(0.6)/0.4=1.27706405941$ — совпадает ✓.