Найдите предел (−1)ⁿ/n при n, стремящемся к бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Выделим ограниченную и убывающую части. Числитель $(-1)^{n}$ не имеет предела — он чередуется $-1,1,-1,1,\dots$ бесконечно. Знаменатель $n$ неограниченно возрастает. Если ограниченное выражение делится на бесконечно возрастающее, результат стремится к нулю — это суть рассуждения словами.

2. 2

   Переходим к модулю для строгого обоснования. Так как $\left|(-1)^{n}\right|=1$ при любом $n$,

   $\left|\frac{(-1)^{n}}{n}\right|=\frac{1}{n}$

   При переходе к модулю исчезает влияние чередования знака — остаётся только убывающая последовательность.

3. 3

   Применим теорему о зажатой последовательности. Для всех $n\ge 1$ выполняется неравенство:

   $-\frac{1}{n}\le\frac{(-1)^{n}}{n}\le\frac{1}{n}$

   Обе внешние границы стремятся к $0$, значит, и сама последовательность зажата между ними и тоже стремится к нулю.

4. 4

   Запишем итоговый предел.

   $\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}=0$

   Последовательность сходится, хотя её члены никогда не остаются по одну сторону от нуля: для сходимости достаточно приближения к пределу, а не постоянства знака.

5. 5

   Отметим отличие от $(-1)^{n}$ без деления. Если бы не было множителя $\tfrac1n$, последовательность не имела бы предела, так как её члены навсегда остаются на расстоянии $2$. Именно убывающий множитель обеспечивает сходимость — по этой же причине сходится и чередующийся гармонический ряд $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ (по признаку Лейбница).