Найдите предел 1/x − ⌊1/x⌋ при x стремящемся к 0 справа, где ⌊·⌋ — функция наибольшего целого.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим выражение как дробную часть. Для любого действительного $t$ разность $t - \lfloor t \rfloor$ даёт дробную часть $\{t\}$, которая всегда удовлетворяет $0 \le \{t\} < 1$. Значит, всё выражение есть $\left\{\tfrac1x\right\}$ и принимает значения в $[0,1)$ — то есть ограничено, но одной ограниченности недостаточно для существования предела.

2. 2

   Посмотрим, как ведёт себя внутренняя функция. При $x \to 0^{+}$, $\tfrac1x \to +\infty$. Дробная часть величины, стремящейся к бесконечности, многократно пробегает весь промежуток $[0,1)$ — при каждом увеличении на единицу. Так как $\tfrac1x$ увеличивается без ограничения, то в любом интервале $(0,\delta)$ таких пробегов будет бесконечно много.

3. 3

   Построим последовательность, на которой значение всегда 0. Подставим $x_n = \tfrac{1}{n}$, где $n$ — целое. Тогда $\tfrac{1}{x_n} = n$ — целое число, значит

   $\frac{1}{x_n} - \left\lfloor \frac{1}{x_n} \right\rfloor = n - n = 0$

   и $x_n \to 0^{+}$.

4. 4

   Построим вторую последовательность, на которой значение всегда 1/2. Возьмём $y_n = \dfrac{1}{n + \tfrac12}$. Тогда $\tfrac{1}{y_n} = n + \tfrac12$, а его целая часть — $n$, значит

   $\frac{1}{y_n} - \left\lfloor \frac{1}{y_n} \right\rfloor = \frac12$

   и $y_n \to 0^{+}$.

5. 5

   Сделаем вывод по критерию последовательностей. Если бы предел существовал и был равен $L$, то по любой последовательности, стремящейся к $0^{+}$, значения выражения должны были бы стремиться к $L$. Но по двум построенным последовательностям получаются $0$ и $\tfrac12$, значит, такого $L$ не существует:

   $\lim_{x \to 0^{+}} \left(\frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor\right) \text{ не существует}$

   Более того, подставляя $x = \tfrac{1}{n + c}$ при любом $c \in [0,1)$, можно получить в точности любое значение из $[0,1)$, то есть все числа этого промежутка реализуются как частичные пределы.