Вычислите тройной интеграл от (3a·z²·sin y + 2z³·sin y·cos y) по области 0 ≤ x ≤ 2π, π/2 ≤ y ≤ π, 0 ≤ z ≤ a, где a — положительная постоянная.

Step-by-step solution

1. 1

   Пользуемся тем, что одна переменная отсутствует. Подынтегральная функция вообще не содержит $x$, а пределы по $x$ постоянны. Поэтому внешнее интегрирование даёт лишь длину промежутка:

   $I=2\pi\int_{\pi/2}^{\pi}\!\int_{0}^{a}\bigl(3az^{2}\sin y+2z^{3}\sin y\cos y\bigr)\,dz\,dy.$

   Заметив это сразу, мы убираем целую переменную ещё до начала настоящих вычислений.

2. 2

   Интегрируем по $z$, считая $\sin y$ и $\cos y$ постоянными. Оба слагаемых — чистые степени $z$:

   $\int_{0}^{a}3az^{2}\,dz=3a\cdot\frac{a^{3}}{3}=a^{4},\qquad \int_{0}^{a}2z^{3}\,dz=2\cdot\frac{a^{4}}{4}=\frac{a^{4}}{2}.$

   Значит, внутренний интеграл равен

   $a^{4}\sin y+\frac{a^{4}}{2}\sin y\cos y=a^{4}\Bigl(\sin y+\tfrac12\sin y\cos y\Bigr).$

   Обратим внимание: параметр $a$ полностью выносится как $a^{4}$ — ответ обязан быть пропорционален $a^{4}$.

3. 3

   Интегрируем первое тригонометрическое слагаемое по $[\pi/2,\pi]$.

   $\int_{\pi/2}^{\pi}\sin y\,dy=\bigl[-\cos y\bigr]_{\pi/2}^{\pi}=-(-1)-(0)=1.$

4. 4

   Второе слагаемое берём заменой переменной. Положим $u=\cos y$, тогда $du=-\sin y\,dy$, поэтому $\int\sin y\cos y\,dy=-\tfrac{u^{2}}{2}=-\tfrac{\cos^{2}y}{2}$. Отсюда

   $\frac12\int_{\pi/2}^{\pi}\sin y\cos y\,dy=\frac12\left[-\frac{\cos^{2}y}{2}\right]_{\pi/2}^{\pi}=-\frac14\bigl(1-0\bigr)=-\frac14.$

   Минус тут ожидаем: на промежутке $(\pi/2,\pi)$ синус положителен, а косинус отрицателен, значит интеграл их произведения отрицателен.

5. 5

   Перемножаем три множителя. Интеграл по $y$ равен $1-\tfrac14=\tfrac34$, поэтому

   $I=2\pi\cdot a^{4}\cdot\frac34=\frac{3\pi a^{4}}{2}.$

   Подставив $a=2$ и посчитав исходный тройной интеграл адаптивной численной квадратурой, получаем $75.398224$, а $\tfrac32\pi\cdot 2^{4}=24\pi=75.398224$ — значения совпадают.