Вычислить двойной интеграл от x·y² по области, где x меняется от 0 до π, а y — от 0 до 2 sin x.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем порядок $dy\,dx$. Область снизу ограничена прямой $y=0$, сверху — кривой $y=2\sin x$, а $x$ пробегает фиксированный отрезок $[0,\pi]$. Такое описание уже имеет вид «постоянные пределы по $x$, функциональные пределы по $y$», поэтому интегрирование сначала по $y$ не требует никакой подготовки:

   $\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{2\sin x}xy^{2}\,dy\,dx.$

   При обратном порядке пришлось бы обращать зависимость $y=2\sin x$ и разбивать область в точке $x=\pi/2$ — это заметно хуже.

2. 2

   Берём внутренний интеграл, считая $x$ постоянным.

   $\int_{0}^{2\sin x}xy^{2}\,dy=x\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2\sin x}=\frac{x(2\sin x)^{3}}{3}=\frac{8}{3}x\sin^{3}x.$

   Именно куб делает внешний интеграл неудобным, поэтому им и займёмся дальше.

3. 3

   Понижаем степень $\sin^{3}x$ формулой тройного угла. Из $\sin 3x=3\sin x-4\sin^{3}x$ получаем $\sin^{3}x=\dfrac{3\sin x-\sin 3x}{4}$. Степени синуса нельзя проинтегрировать в произведении с $x$ напрямую, а вот первые степени синуса берутся по частям, поэтому:

   $\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi}x\sin^{3}x\,dx=2\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx-\frac{2}{3}\int_{0}^{\pi}x\sin 3x\,dx.$

4. 4

   Каждое слагаемое интегрируем по частям, взяв $u=x$. Для $\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x$:

   $\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx=\big[-x\cos x+\sin x\big]_{0}^{\pi}=\pi.$

   Для $\int x\sin 3x\,dx=-\dfrac{x\cos 3x}{3}+\dfrac{\sin 3x}{9}$:

   $\int_{0}^{\pi}x\sin 3x\,dx=\left[-\frac{x\cos 3x}{3}+\frac{\sin 3x}{9}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi}{3},$

   здесь использованы значения $\cos 3\pi=-1$ и $\sin 3\pi=0$.

5. 5

   Складываем и проверяем.

   $2(\pi)-\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi-\frac{2\pi}{9}=\frac{16\pi}{9}\approx 5.5851.$

   Численное интегрирование $\tfrac{8}{3}x\sin^{3}x$ по $[0,\pi]$ даёт $5.5850536$, что совпадает с $\tfrac{16\pi}{9}=5.5850536$. Результат положителен, как и должно быть: во всей области $R$ выполнено $x\ge0$ и $y^{2}\ge0$.