Найдите производную функции f(t) = t · sin(3t).

Step-by-step solution

1. 1

   Увидим структуру произведения. Функция $f$ — это произведение $u = t$ и $v = \sin(3t)$, поэтому работает правило произведения:

   $\frac{d}{dt}\left[uv\right] = u'v + uv'$

   Ни один из сомножителей нельзя предварительно упростить, так что обойти это правило не получится.

2. 2

   Продифференцируем простой множитель.

   $u = t \quad\Longrightarrow\quad u' = 1$

3. 3

   Продифференцируем сложный множитель по цепному правилу. В выражении $\sin(3t)$ внешняя функция — это $\sin$, применённая к внутренней функции $3t$, производная которой равна $3$:

   $v = \sin(3t) \quad\Longrightarrow\quad v' = 3\cos(3t)$

   Забыть этот множитель $3$ — самая распространённая здесь ошибка.

4. 4

   Соберём всё по правилу произведения.

   $f'(t) = (1)\sin(3t) + t\left(3\cos(3t)\right) = \sin(3t) + 3t\cos(3t)$

5. 5

   Проверим численно. При $t = 0.7$ формула даёт $\sin(2.1) + 2.1\cos(2.1) = 0.863209 - 1.060177 = -0.196967$. Центральная разность для $f$ в точке $t = 0.7$ с шагом $10^{-6}$ возвращает $-0.196967$ — совпадение до шести знаков. Заметим также, что $f'(0) = \sin 0 + 0 = 0$: вблизи нуля $t\sin 3t \approx 3t^2$, поэтому там пологий минимум.