Пусть f(x) = сумма от n = 1 до ∞ xⁿ / n², дилогарифм Li₂(x). Дифференцируема ли f в точке x = −1?

Step-by-step solution

1. 1

   Определим положение x = −1 относительно интервала сходимости. По признаку д’Аламбера радиус сходимости $R=1$, и на обоих концах $\sum \tfrac{(\pm 1)^n}{n^2}$ сходится абсолютно (так как ряд мажорируется $\sum 1/n^2$). Следовательно, $f$ определена на замкнутом интервале $[-1,1]$, а $x=-1$ — это конечная точка интервала, что и делает вопрос нетривиальным. Внутри $(-1,1)$ дифференцируемость очевидна; на границе требуется отдельное обоснование.

2. 2

   Выполним почленное дифференцирование внутри интервала. Для $|x|<1$ имеем:

   $f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n x^{n-1}}{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}=-\frac{\ln(1-x)}{x}$

   Здесь использована формула $\sum_{n\ge 1}\tfrac{t^n}{n}=-\ln(1-t)$ при $t=x$, после чего делим на $x$.

3. 3

   Проверим полученную производную в граничной точке. Подставим $x=-1$ в полученный ряд производных:

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots$

   Этот чередующийся гармонический ряд сходится (по признаку Лейбница) к $\ln 2$. Это принципиальное отличие от случая $x=+1$, где тот же ряд превращается в расходящийся гармонический и производная не существует.

4. 4

   Обоснуем дифференцируемость с помощью теоремы Абеля. Так как почленно продифференцированный ряд сходится при $x=-1$, он сходится равномерно на $[-1,0]$, а равномерно сходящийся ряд производных можно интегрировать и дифференцировать почленно вплоть до границы. Значит, $f$ дифференцируема в точке $x=-1$ (односторонне на $[-1,1]$, а также двусторонне, если рассматривать аналитическое продолжение $\operatorname{Li}_2$ за $-1$), причём

   $f'(-1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2$

5. 5

   Проверим результат по явной формуле. Формула $f'(x)=-\tfrac{\ln(1-x)}{x}$ непрерывна при $x=-1$ и даёт

   $f'(-1)=-\frac{\ln 2}{-1}=\ln 2\approx 0.6931$

   что совпадает со значением ряда. (Для справки: $f(-1)=\sum \tfrac{(-1)^n}{n^2}=-\tfrac{\pi^2}{12}$.)

   $\boxed{\text{Да; }f'(-1)=\ln 2\approx 0.693}$

6. 6

   Сравним поведение на двух концах интервала. В точке $x=1$ разностное отношение $\tfrac{f(1)-f(x)}{1-x}=\sum_{n\ge 1}\tfrac{1+x+\cdots+x^{n-1}}{n^2}$ стремится к $\sum \tfrac{1}{n}=\infty$, поэтому у $f$ вертикальная касательная и производная не существует. Единственный дополнительный множитель $(-1)^n$ при $x=-1$ превращает расходящийся ряд в сходящийся — весь ответ зависит именно от этого.