Пусть S — нижняя половина сферы x² + y² + z² = 2, ориентированная внутрь. Вычислить поверхностный интеграл (x² + xz) dy dz + (y² + yz) dz dx + (2z² + 1) dx dy.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим интеграл как поток. Данный интеграл — это $\iint_\Sigma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$ для $\mathbf{F}=(x^2+xz,\;y^2+yz,\;2z^2+1)$. Так как $\Sigma$ не является замкнутой поверхностью, для применения теоремы Гаусса требуется «замкнуть» её.

2. 2

   Замкнём поверхность плоским диском. Добавим диск $D:\{x^2+y^2\le 2,\ z=0\}$. В совокупности $\Sigma$ и $D$ ограничивают нижний полушар. На замкнутой поверхности внешний нормаль направлен вниз/наружу на $\Sigma$ и вверх ($+\mathbf{k}$) на $D$.

3. 3

   Применим теорему Гаусса. $\nabla\cdot\mathbf{F}=(2x+z)+(2y+z)+4z=2x+2y+6z$. Благодаря симметрии области $V$ по $x$ и $y$, слагаемые $2x$ и $2y$ при интегрировании обнуляются, остаётся $\iint_{\partial V,\text{out}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=6\iiint_V z\,dV.$

4. 4

   Вычислим оставшийся тройной интеграл. В сферических координатах при $0\le\rho\le\sqrt2$, $\tfrac\pi2\le\varphi\le\pi$, имеем $\iiint_V z\,dV=2\pi\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\int_0^{\sqrt2}\rho^3\,d\rho=2\pi\left(-\frac12\right)(1)=-\pi,$ значит, полный внешний поток равен $6(-\pi)=-6\pi$.

5. 5

   Вычтем вклад диска. На $D$ имеем $z=0$, поэтому $dy\,dz$ и $dz\,dx$ не дают вклада, а третья компонента равна $2(0)^2+1=1$. Поток вверх — это просто площадь диска: $\pi(\sqrt2)^2=2\pi$. Следовательно, внешний поток через $\Sigma$ равен $-6\pi-2\pi=-8\pi$.

6. 6

   Меняем знак для внутренней стороны. Требуется поток для внутренней ориентации, то есть нормаль меняется на противоположную: $\iint_{\Sigma,\text{inner}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=-(-8\pi)=8\pi.$ Значит, в ответ подставляется $8$.