Найти предел (x² − 3x + 2) / (√(5 − x) − √(x + 1)) при x стремящемся к 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим вид неопределённости. Подставляя $x=2$: числитель равен $4-6+2=0$, знаменатель — $\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$. Получается неопределённость вида $\tfrac00$. Это значит, что в обеих частях скрыт общий множитель $(x-2)$, который можно сократить.

2. 2

   Разложим числитель на множители. Подбираются числа, произведение которых $2$, а сумма $-3$: это $-1$ и $-2$.

   $x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$

3. 3

   Рационализируем знаменатель с помощью сопряжённого. Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}$, чтобы получить разность квадратов:

   $\left(\sqrt{5-x}-\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}\right)=(5-x)-(x+1)=4-2x$

   Корни исчезают, остаётся линейное выражение, в котором явно виден ноль: $4-2x=-2(x-2)$.

4. 4

   Сократим общий множитель. Получаем

   $\frac{(x-1)(x-2)\left(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}\right)}{-2(x-2)}=-\frac{(x-1)\left(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+1}\right)}{2}$

   Это выражение определено при $x\neq2$, что достаточно для предела, ведь он описывает поведение функции в окрестности точки. Проверка на $x=1{,}5; 1{,}9; 2{,}1; 2{,}5$ показала совпадение с исходным выражением до $10^{-9}$ ✓.

5. 5

   Теперь можно подставить $x=2$, так как особенность устранена. Полученное выражение непрерывно при $x=2$:

   $-\frac{(2-1)\left(\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)}{2}=-\frac{2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}$

6. 6

   Проверим численно с обеих сторон. При $x=2\pm10^{-7}$ исходное выражение даёт $-1{,}73205097$ и $-1{,}73205063$, что окружают $-\sqrt{3}=-1{,}7320508$ ✓. Совпадение с двух сторон подтверждает существование предела и его значение:

   $-\sqrt{3}\approx-1{,}7321$