Решение дифференциального уравнения y′ + y/x = 18x + 4 можно записать в виде kx² + hx − sy + C/x = 0. Известно, что s — целое положительное число, меньшее 3. Найдите k, h и s.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим тип уравнения и построим интегрирующий множитель. Перед нами линейное уравнение первого порядка в стандартном виде $y'+P(x)y=Q(x)$, где $P(x)=1/x$ и $Q(x)=18x+4$. Интегрирующий множитель равен

   $\mu(x)=e^{\int P\,dx}=e^{\int dx/x}=e^{\ln|x|}=x.$

   Весь смысл $\mu$ в том, что после умножения на него левая часть становится точной производной.

2. 2

   Умножим уравнение на множитель и узнаем производную произведения.

   $xy'+y=18x^{2}+4x.$

   Левая часть — это в точности $\dfrac{d}{dx}(xy)$; именно это и служит проверкой того, что интегрирующий множитель найден верно. Итак,

   $(xy)'=18x^{2}+4x.$

3. 3

   Проинтегрируем обе части один раз.

   $xy=\int(18x^{2}+4x)\,dx=6x^{3}+2x^{2}+C,$

   а после деления на $x$

   $y=6x^{2}+2x+\frac{C}{x}.$

4. 4

   Приведём ответ к требуемому виду. Перенесём $y$ влево:

   $6x^{2}+2x-y+\frac{C}{x}=0.$

   Сравнивая почленно с $kx^{2}+hx-sy+C/x=0$, получаем $k=6$, $h=2$, $s=1$. Условие «$s$ — целое положительное число, меньшее $3$» как раз и фиксирует нормировку: всё уравнение можно умножить на любую константу, и только при $s=1$ (а не при $s=2$, что потребовало бы $k=12$, $h=4$) коэффициент при $C/x$ остаётся равным $1$, как и записано.

5. 5

   Проверим подстановкой. При $y=6x^{2}+2x+Cx^{-1}$ имеем $y'=12x+2-Cx^{-2}$, поэтому

   $y'+\frac{y}{x}=12x+2-\frac{C}{x^{2}}+6x+2+\frac{C}{x^{2}}=18x+4.$

   Слагаемые с $C$ сокращаются при любом $C$, что подтверждает общее решение. Численно при $C=1.7$ и $x=2.3$ получаем $y'+y/x=45.4$, а $18(2.3)+4=45.4$.