Вычислить двойной интеграл по квадрату 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 от максимума между √(2x−x²) и 1−y.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим радикал как часть окружности. Преобразуем выражение: $2x-x^2=1-(x-1)^2$, значит, $\sqrt{2x-x^2}=\sqrt{1-(x-1)^2}$ — это верхняя полуокружность радиуса $1$ с центром в точке $(1,0)$. При $0\le x\le 1$ значение функции возрастает от $0$ до $1$.

2. 2

   Выполним подстановку для центрирования области. Пусть $u=1-x$, $v=1-y$. Якобиан по модулю равен $1$, а квадрат отображается сам в себя, поэтому интеграл принимает вид $\iint_{[0,1]^2}\max\left\{\sqrt{1-u^2},\,v\right\}du\,dv$.

3. 3

   Разобьём квадрат по четверти окружности. Два выражения равны при $v=\sqrt{1-u^2}$ — это четверть окружности. Ниже этой линии большее значение даёт радикал, выше — $v$. Такое разбиение устраняет максимум.

4. 4

   Вычислим интеграл по нижней части. Для каждого $u$ переменная $v$ изменяется от $0$ до $\sqrt{1-u^2}$, а подынтегральная функция постоянна и равна $\sqrt{1-u^2}$. Получаем вклад $\int_0^1\left(1-u^2\right)du=1-\frac13=\frac23$.

5. 5

   Вычислим интеграл по верхней части. Для каждого $u$ переменная $v$ изменяется от $\sqrt{1-u^2}$ до $1$, а подынтегральная функция равна $v$. Получаем $\int_0^1\frac{1-\left(1-u^2\right)}{2}du=\int_0^1\frac{u^2}{2}du=\frac16$.

6. 6

   Сложим результаты и проверим. Общая сумма равна $\frac23+\frac16=\frac56$. Проверка по сетке $4000\times4000$ ячеек для исходного интеграла даёт $0.83333333$, что совпадает с $\frac56$.