Найдите предел x²−4 при x, стремящемся к плюс бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Сравним оба слагаемых. При увеличении $x$ выражение $x^2$ возрастает без ограничения, тогда как $-4$ остаётся постоянным. В сумме на бесконечности доминирует слагаемое с наибольшей степенью, поэтому поведение предела определяется только $x^2$.

2. 2

   Оценим поведение доминирующего члена. При $x\to\infty$ получаем $x^2\to+\infty$, так как возведение большого положительного числа в квадрат делает его ещё больше.

3. 3

   Вычтем константу. Если из неограниченно возрастающего значения вычесть постоянное $4$, результат всё равно останется неограниченным:

   $x^2-4\to+\infty$

   График просто смещается вниз на $4$ единицы, но это не ограничивает рост функции.

4. 4

   Проверим на числовых примерах. При $x=10$ получаем $96$. При $x=100$ — $9996$. При $x=1000$ — $999996$. Каждый раз при увеличении $x$ в 10 раз значение функции примерно увеличивается в $100$ раз.

5. 5

   Корректно сформулируем ответ. Записываем:

   $\lim_{x\to\infty}(x^2-4)=+\infty$

   Однако $+\infty$ — не число, поэтому предел не существует как конечное значение, а функция стремится к $+\infty$. Заметим также, что $\lim_{x\to-\infty}(x^2-4)=+\infty$, так как при возведении в квадрат знак исчезает.