Вычислить интеграл от 0 до π/2 от корня из (1 + tan²(0,661)·sin²b) по b.

Step-by-step solution

1. 1

   Распознаём форму подынтегральной функции. Полный эллиптический интеграл второго рода записывается как

   $E(k)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}\;d\theta$

   В данном случае под корнем стоит плюс, поэтому выражение совпадает с шаблоном при $k^2=-\tan^2(0.661)$ — то есть параметр отрицателен, а модуль эллиптического интеграла мнимый: $k=i\tan(0.661)$.

2. 2

   Вычисляем постоянную, от которой всё зависит. Необходимо аккуратно найти значение:

   $\tan(0.661)=0.7777085,\qquad \tan^2(0.661)=0.6048305$

   (Угол $0.661$ берётся в радианах. Использование градусов — частая причина ошибок.)

3. 3

   Подставляем найденное число в интеграл. Получаем

   $I=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+0.6048305\,\sin^2 b}\;db=E\!\left(-0.6048305\right)$

   где $E$ записан в параметризации $m=k^2$.

4. 4

   Оцениваем диапазон ответа до вычислений. Так как $0\le\sin^2 b\le 1$, подынтегральная функция меняется от $1$ до $\sqrt{1.6048305}=1.2668$. Умножая на длину отрезка $\pi/2=1.5708$, получаем

   $1.5708\le I\le 1.9899$

   Любой численный результат вне этого интервала — ошибка.

5. 5

   Выполняем численное вычисление. Составное правило Симпсона на $[0,\pi/2]$ с мелкой сеткой даёт

   $I\approx 1.7865275$

   Это значение лежит внутри ранее найденного диапазона и чуть выше середины, что ожидаемо: $\sin^2 b$ большую часть интервала принимает значения, близкие к $1$, чем к $0$.