Найти предел (1 − cos x)/(1 − e^x) при x, стремящемся к 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим вид неопределённости $\tfrac{0}{0}$. При $x=0$ оба выражения обращаются в ноль: $1-\cos 0=0$ и $1-e^{0}=0$. Поэтому дробь принимает неопределённый вид $0/0$ и требует дополнительного рассмотрения — часто ошибочно полагают, что предел равен $1$, поскольку «оба стремятся к нулю одновременно», но это не так: скорость стремления к нулю у них разная.

2. 2

   Сравним скорости стремления к нулю с помощью разложения Маклорена. Оставим только главные члены:

   $1-\cos x=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+\cdots,\qquad 1-e^{x}=-x-\frac{x^2}{2}-\cdots$

   В числителе — слагаемое второго порядка по $x$, в знаменателе — только первого. Уже это указывает, что предел равен $0$.

3. 3

   Разделим главные члены разложений.

   $\frac{1-\cos x}{1-e^{x}}=\frac{\frac{x^2}{2}\left(1-\frac{x^2}{12}+\cdots\right)}{-x\left(1+\frac{x}{2}+\cdots\right)}=-\frac{x}{2}\cdot\frac{1+O\!\left(x^2\right)}{1+O(x)}\longrightarrow 0$

   Скобочные множители стремятся к $1$, поэтому вся дробь ведёт себя как $-\tfrac{x}{2}$ при $x$, близком к нулю.

4. 4

   Проверим с помощью правила Лопиталя. Продифференцируем числитель и знаменатель один раз:

   $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{-e^{x}}=\frac{0}{-1}=0$

   Здесь достаточно одного применения, так как после дифференцирования получается определённая форма $\tfrac{0}{-1}$. Повторное применение правила было бы ошибкой — оно применяется только при сохраняющейся неопределённости.

5. 5

   Проверим поведение с двух сторон численно. При $x=10^{-3}$ значение дроби $-0.00049975$; при $x=10^{-5}$ — $-5.00\times 10^{-6}$; при $x=-10^{-5}$ — $+5.00\times 10^{-6}$. Значения стремятся к нулю с разных сторон, что согласуется с линейным приближением $-\tfrac{x}{2}$, и двусторонний предел равен

   $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{1-e^{x}}=0$