Вычислить предел (2x² + x - 3)/|x - 1| при x стремящемся к -2.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала необходимо проверить знаменатель — прежде чем применять какие-либо приёмы. Модули в знаменателе часто требуют одностороннего рассмотрения, но только если выражение под модулем может обращаться в ноль в точке предела. Здесь

   $|x-1|\ \text{равен нулю только при}\ x=1,$

   а точка предела — $x=-2$, что далеко от $x=1$. Следовательно, неопределённости нет.

2. 2

   Рассмотрим модуль в окрестности $x=-2$. Для $x$ вблизи $-2$ имеем $x-1<0$ (при $x=-2$ это $-3$), поэтому во всей этой окрестности

   $|x-1|=-(x-1)=1-x.$

   Таким образом, модуль можно раскрыть, и функция становится отношением двух многочленов в окрестности $x=-2$ — значит, она непрерывна в этой точке.

3. 3

   Проверим, не возникает ли неопределённости вида $0/0$. Подставим $x=-2$ отдельно в числитель и знаменатель:

   $2(-2)^{2}+(-2)-3=8-2-3=3,\qquad |-2-1|=|-3|=3.$

   Оба значения отличны от нуля, поэтому разложение на множители, рационализация или правило Лопиталя не требуются — эти методы применяются только при неопределённостях.

4. 4

   Выполним прямую подстановку. Так как функция непрерывна при $x=-2$, предел равен значению функции:

   $\lim_{x\to-2}\frac{2x^{2}+x-3}{|x-1|}=\frac{3}{3}=1.$

5. 5

   Проверим совпадение односторонних пределов. Слева ($x=-2{,}001$): $\frac{2(4.004)+(-2.001)-3}{3.001}=\frac{3.007}{3.001}\approx 1.002$. Справа ($x=-1{,}999$): $\frac{2.993}{2.999}\approx 0.9980$. Оба значения стремятся к $1$ при уменьшении шага, значит, двухсторонний предел существует и равен $1$ ✓. Для сравнения: при $\lim_{x\to1}\frac{2x^{2}+x-3}{|x-1|}$ модуль действительно приводит к разным левому и правому пределам.