Найти производную каждой функции: y = 1/√x, y = x/2 - 2/x, y = x·(√x - x), y = (3x - 2)(3x + 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что общего у всех четырёх функций. Ни одна из них не записана сразу как сумма степеней — присутствуют корни, дроби и произведения. Правило степени $\dfrac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ применимо только к степеням, поэтому каждую функцию нужно сначала преобразовать. Обычно это быстрее, чем использовать правило частного или произведения.

2. 2

   (1) Перепишем корень как отрицательную дробную степень.

   $y=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}\ \Longrightarrow\ y'=-\tfrac12 x^{-3/2}=-\frac{1}{2x^{3/2}}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}.$

3. 3

   (2) Разобьём дробь на два простых слагаемых.

   $y=\tfrac12 x-2x^{-1}\ \Longrightarrow\ y'=\tfrac12-2(-1)x^{-2}=\frac{1}{2}+\frac{2}{x^{2}}.$

   Знак во втором слагаемом — типичная ловушка: при дифференцировании $-2x^{-1}$ получается $+2x^{-2}$.

4. 4

   (3) Раскроем скобки в произведении до дифференцирования.

   $y=x\left(x^{1/2}-x\right)=x^{3/2}-x^{2}\ \Longrightarrow\ y'=\tfrac32 x^{1/2}-2x=\frac{3\sqrt{x}}{2}-2x.$

5. 5

   (4) Перемножим сопряжённые скобки. Это разность квадратов, средние члены сокращаются:

   $y=(3x)^{2}-2^{2}=9x^{2}-4\ \Longrightarrow\ y'=18x.$

   Постоянное $-4$ при дифференцировании даёт $0$.

6. 6

   Соберём все четыре ответа.

   $y'=-\frac{1}{2x^{3/2}},\qquad y'=\frac{1}{2}+\frac{2}{x^{2}},\qquad y'=\frac{3\sqrt{x}}{2}-2x,\qquad y'=18x.$

   Для (1) и (3) область определения — $x>0$; для (2) — $x\neq 0$. Каждый ответ проверен символьным дифференцированием исходной, ещё не преобразованной функции.