Вычислить двойной интеграл от θ = 0 до 2π и от r = 0 до a(1 − cos θ) от r³ cos² θ dr dθ.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим область. Верхний предел по $r$, равный $r=a(1-\cos\theta)$, описывает кардиоиду с остриём в начале координат, направленным вдоль положительной полуоси $x$; при пробеге $\theta$ от $0$ до $2\pi$ она обходится ровно один раз.

2. 2

   Сначала интегрируем по r, считая cos²θ постоянной. $\int_0^{a(1-\cos\theta)} r^3\,dr = \frac{\left(a(1-\cos\theta)\right)^4}{4} = \frac{a^4}{4}(1-\cos\theta)^4,$ так что задача сводится к $\frac{a^4}{4}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,(1-\cos\theta)^4\,d\theta.$

3. 3

   Раскроем четвёртую степень по формуле бинома. $(1-\cos\theta)^4 = 1-4\cos\theta+6\cos^2\theta-4\cos^3\theta+\cos^4\theta$, поэтому после умножения на $\cos^2\theta$ получаем: $\cos^2\theta-4\cos^3\theta+6\cos^4\theta-4\cos^5\theta+\cos^6\theta.$

4. 4

   Отбросим нечётные степени. За полный период $\int_0^{2\pi}\cos^{2k+1}\theta\,d\theta = 0$, поэтому слагаемые с $\cos^3$ и $\cos^5$ ничего не дают. Это главный шаг, экономящий вычисления.

5. 5

   Подставим значения Валлиса для чётных степеней. $\int_0^{2\pi}\cos^2 = \pi$, $\int_0^{2\pi}\cos^4 = 2\pi\cdot\tfrac38 = \tfrac{3\pi}{4}$, $\int_0^{2\pi}\cos^6 = 2\pi\cdot\tfrac{5}{16} = \tfrac{5\pi}{8}$. Складываем их с коэффициентами: $\pi+6\cdot\frac{3\pi}{4}+\frac{5\pi}{8} = \frac{8\pi+36\pi+5\pi}{8} = \frac{49\pi}{8}.$

6. 6

   Умножим на вынесенный множитель. $\frac{a^4}{4}\cdot\frac{49\pi}{8} = \frac{49\pi a^4}{32}.$

7. 7

   Проверим численно. При $a=1.3$ численное интегрирование $\tfrac{a^4}{4}(1-\cos\theta)^4\cos^2\theta$ по $[0,2\pi]$ даёт $13.7394511287$, и $\tfrac{49\pi(1.3)^4}{32} = 13.7394511287$ — совпадение до десяти знаков.