Найти оценку сверху для суммы ряда 1/(1 + n²·ln n) при n от 1 до бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Разбираем случай $n=1$ отдельно. Так как $\ln 1=0$, первое слагаемое равно $\dfrac{1}{1+0}=1$ — это самый большой член всего ряда, и никакое сравнение с участием $\ln n$ его не покроет. Выделим его:

   $S=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{1+n^{2}\ln n}$

2. 2

   Отбрасываем $+1$, тем самым увеличивая каждое слагаемое. При $n\ge 2$ верно $1+n^{2}\ln n>n^{2}\ln n>0$, а уменьшение знаменателя увеличивает дробь:

   $\frac{1}{1+n^{2}\ln n}<\frac{1}{n^{2}\ln n}$

   Все неравенства в такой оценке обязаны работать в одну сторону; здесь оба так и делают.

3. 3

   Заменяем $\ln n$ его наименьшим значением на этом промежутке. При $n\ge 2$ имеем $\ln n\ge\ln 2$, поэтому

   $\frac{1}{n^{2}\ln n}\le\frac{1}{n^{2}\ln 2}$

   Именно этот шаг превращает неудобный ряд с логарифмическим весом в обычный $p$-ряд — ценой некоторой потери точности.

4. 4

   Точно суммируем ряд сравнения. Пользуясь результатом задачи Базеля без первого члена,

   $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}-1\approx 0.644934$

5. 5

   Собираем оценку.

   $S<1+\frac{1}{\ln 2}\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)=1+\frac{0.644934}{0.693147}=1.93044$

   Ряд сходится, и его сумма заведомо меньше $1.93044$.

6. 6

   Оцениваем, насколько груба полученная граница. Суммирование трёх миллионов слагаемых даёт $S\approx 1.4976$, то есть оценка завышена примерно на $0.43$. Основной запас берётся из шага 3: замена $\ln n$ на $\ln 2$ слишком щедра при больших $n$, где $\ln n$ заметно больше. Если разбить сумму, скажем, на $n=10$ и дальше пользоваться $\ln 10$, граница станет существенно точнее.