Найти объём области, заданной условием (x² + y² + z²)² ≤ a³z, где a > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Переводим неравенство в сферические координаты. При $x^2+y^2+z^2=\rho^2$ и $z=\rho\cos\varphi$ определяющее условие принимает вид

   $\rho^4\le a^3\rho\cos\varphi\;\Longleftrightarrow\;\rho^3\le a^3\cos\varphi\;\Longleftrightarrow\;\rho\le a\left(\cos\varphi\right)^{1/3}$

   Один множитель $\rho$ сокращается, поскольку вне начала координат $\rho>0$. Правая часть требует $\cos\varphi\ge 0$, поэтому тело целиком лежит в верхнем полупространстве $0\le\varphi\le\tfrac{\pi}{2}$ — чего и следовало ожидать: из $a^3z\ge 0$ вытекает $z\ge 0$.

2. 2

   Записываем интеграл для объёма. Тело является телом вращения вокруг оси $z$ (переменная $\theta$ в условие не входит), поэтому

   $V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi/2}\!\!\int_0^{a(\cos\varphi)^{1/3}}\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$

   Множитель $\rho^2\sin\varphi$ — это элемент объёма в сферических координатах; именно его пропуск и есть обычная причина ошибки в таком интеграле.

3. 3

   Интегрируем по радиусу — кубический корень исчезает. При фиксированном $\varphi$

   $\int_0^{a(\cos\varphi)^{1/3}}\rho^2\,d\rho=\frac{\left[a\left(\cos\varphi\right)^{1/3}\right]^3}{3}=\frac{a^3\cos\varphi}{3}$

   В этом и весь смысл задачи: возведение радиуса в куб ровно гасит показатель $\tfrac13$, превращая неудобную границу в обычный косинус.

4. 4

   Считаем интеграл по полярному углу. Остаётся хрестоматийная подстановка:

   $\int_0^{\pi/2}\frac{a^3\cos\varphi}{3}\sin\varphi\,d\varphi=\frac{a^3}{3}\left[\frac{\sin^2\varphi}{2}\right]_0^{\pi/2}=\frac{a^3}{3}\cdot\frac12=\frac{a^3}{6}$

5. 5

   Умножаем на полный угловой оборот и проверяем масштабирование. Интеграл по $\theta$ даёт $2\pi$:

   $V=2\pi\cdot\frac{a^3}{6}=\frac{\pi a^3}{3}$

   Две проверки. По размерности ответ обязан вести себя как $a^3$ — так и есть: замена $a$ на $ka$ растягивает тело линейно в $k$ раз. Численно: при $a=1$ оценка того же объёма методом Монте-Карло по условию $(\rho^2)^2\le z$ в коробке $[-1.2,1.2]^2\times[0,1.2]$ даёт около $1.045$ против $\tfrac{\pi}{3}\approx 1.0472$ $\checkmark$.