Найдите предел при x → ∞ суммы от y = 1 до x выражения y, делённого на 2 в степени y.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем, что перед нами не предел функции, а сумма бесконечного ряда. Частичные суммы возрастают, а члены $y/2^y$ убывают как геометрическая прогрессия, поэтому искомый предел — это в точности значение сходящегося ряда

   $S=\sum_{y=1}^{\infty}\frac{y}{2^y}$

   Сходимость гарантирует признак Даламбера: отношение соседних членов стремится к $\tfrac12<1$.

2. 2

   Выписываем сумму и делим её пополам.

   $S=\frac12+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots$

   $\frac12 S=\frac14+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{4}{32}+\cdots$

   Деление пополам сдвигает каждое слагаемое на одну позицию вправо — именно это и делает возможным следующий шаг.

3. 3

   Вычитаем одну строку из другой. Если выровнять слагаемые по знаменателям, каждый коэффициент уменьшается ровно на единицу:

   $S-\frac12 S=\frac12+\frac{2-1}{4}+\frac{3-2}{8}+\frac{4-3}{16}+\cdots=\frac12+\frac14+\frac18+\cdots$

   Громоздкий арифметико-геометрический ряд превратился в обычный геометрический.

4. 4

   Суммируем геометрическую прогрессию и находим S. Первый член $\tfrac12$, знаменатель $\tfrac12$:

   $\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=\frac{1/2}{1-1/2}=1$

   значит $\tfrac12 S=1$, и потому $S=2$.

5. 5

   Сверяемся с готовой формулой и с численным счётом. Известное тождество $\sum_{y\ge1}yr^y=\dfrac{r}{(1-r)^2}$ при $r=\tfrac12$ даёт $\dfrac{1/2}{1/4}=2$ ✓. Прямое суммирование первых $199$ членов даёт $2.0000000000$ с точностью до десяти знаков после запятой ✓.