Вычислите определённый интеграл от 1 по x от 0 до 2π.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала рассмотрим геометрический смысл интеграла. График $y=1$ — это горизонтальная прямая на высоте $1$, поэтому интеграл равен площади прямоугольника высоты $1$ на интервале $[0,2\pi]$. Площадь такого прямоугольника равна основание на высоту, то есть длина отрезка. Значит, ожидаемый ответ — $2\pi$, ещё до вычислений.

2. 2

   Найдём первообразную. Требуется функция $F$, такая что $F'(x)=1$, а

   $\frac{d}{dx}(x)=1$

   то есть $F(x)=x$ подходит. (Это правило степени при $n=0$: $\int x^0dx=\tfrac{x^1}{1}$.)

3. 3

   Применим основную теорему анализа.

   $\int_{0}^{2\pi}1\,dx=\Bigl[x\Bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi-0=2\pi$

4. 4

   Запишем численное значение.

   $2\pi=6.283185307\ldots\approx6.2832$

5. 5

   Отметим общий принцип, который здесь проявляется. Для любой константы $c$ и пределов $a<b$,

   $\int_a^b c\,dx=c(b-a)$

   То есть интеграл от $1$ измеряет длину, поэтому $\int_a^b1\,dx$ часто встречается как «общее время» или «общая масса» в прикладных задачах — и именно поэтому предел $2\pi$ (полный оборот) постоянно появляется в тригонометрии.

6. 6

   Проверим геометрическим способом. Высота $1$ умножается на основание $2\pi-0=2\pi$, получаем $2\pi$ — совпадает с результатом по основной теореме анализа.