Вычислить двойной интеграл x² − 8y по области D = {−2 ≤ x ≤ −1, 0 ≤ y ≤ 1}.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим прямоугольную область и раздельные слагаемые. Поскольку область интегрирования — прямоугольник с постоянными пределами, интеграл от суммы функций можно разбить на сумму интегралов, а каждое слагаемое зависит только от одной переменной, поэтому каждый интеграл можно представить в виде произведения одномерных интегралов.

2. 2

   Разобьём подынтегральное выражение. $\iint_D\left(x^2-8y\right)dA=\iint_D x^2\,dA-8\iint_D y\,dA$. Это позволяет рассматривать каждое слагаемое отдельно, не смешивая переменные в одном интеграле.

3. 3

   Вычислим часть с $x^2$. $\int_{-2}^{-1}x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{-1}=\frac{-1}{3}-\frac{-8}{3}=\frac73$, а $\int_0^1 dy=1$, значит, вклад этого слагаемого равен $\frac73$. Следует отметить, что $x^2$ остаётся положительным даже при отрицательных $x$.

4. 4

   Вычислим часть с $-8y$. $\int_{-2}^{-1}dx=1$ и $\int_0^1 y\,dy=\frac12$, поэтому вклад этого слагаемого равен $-8\cdot 1\cdot\frac12=-4$.

5. 5

   Сложим результаты. $\frac73-4=\frac{7-12}{3}=-\frac53\approx -1.6667$. Отрицательный знак ожидаем: слагаемое $-8y$ по модулю больше, чем $x^2$, которое на этом прямоугольнике не превышает $4$, а $8y$ достигает $8$.

6. 6

   Проверим численно. Численное интегрирование по той же области даёт $-1.6666667$, что совпадает с $-\frac53$.